Sunday July 21, 2024
 Home | Contact | Support | Computer Graphics Powerful and Beautiful ... | Fractals and the Mandelbulb Kenwright
 Fractals and the Mandelbulb Kenwright

Fractals make you see everything differently. When you first read and learn about fractals, it's like Pandora's box. A hidden magic of unlimited possibilities. Not only are fractals incredibly powerful, but they are also beautiful and fun. In particular, graphical fractals possess infinite detail combined with unpredictability, that is really amazing. Once you get past all of the mathematics and visualization challenges, you'll never look at the world the same again ;)

A particular fractal with interesting visual properties is the Mandelbulb.

# Famous 2D Mandelbrot Equation

2D Mandelbrot equation:

$z_{n+1} = z_{n}^2+c$

Squaring complex numbers has a simple geometric interpretation: if the complex number is represented in polar coordinates, squaring the number corresponds to squaring the length, and doubling the angle (to the real axis).

Taking the Mandelbrot equation to higher dimensions leads us to what is now known as the Mandelbulb fractal.

## 2D Cross-section Of (3D) Mandelbrot Fractal

import math
import random
from PIL import Image
imgx 256 # 512
imgy 256 # 512
image Image.new("RGB", (imgximgy))
8
# drawing area (xa < xb & ya < yb)
xa = -1.5
xb
1.5
ya
= -1.5
yb
1.5
maxIt
256 # 256 # max number of iterations allowed
pi2 math.pi 2.0
# random rotation angles to convert 2d plane to 3d plane
xy 0.2 pi2# random.random() * pi2
xz 0.2 pi2# random.random() * pi2
yz 0.2 pi2# random.random() * pi2
sxy math.sin(xy) ; cxy math.cos(xy)
sxz math.sin(xz) ; cxz math.cos(xz)
syz math.sin(yz) ; cyz math.cos(yz)

origx = (xa xb) / 2.0 origy = (ya yb) / 2.0
for ky in range(imgy):

ky * (yb ya) / (imgy 1)  + ya

for kx in range(imgx):

kx * (xb xa) / (imgx 1)  + xa
x
0.5

# 3d rotation around center of the plane

origx origy
x0
=x*cxy-y*sxy;y=x*sxy+y*cxy;x=x0 # xy-plane rotation

x0=x*cxz-z*sxz;z=x*sxz+z*cxz;x=x0 # xz-plane rotation

y0=y*cyz-z*syz;z=y*syz+z*cyz;y=y0 # yz-plane rotation

origx origy

cx
cy cz z

for i in range(maxIt):

math.sqrt(z)

math.atan2(math.hypot(xy), z)

math.atan2(yx)

rn ** n
x
rn math.sin(n) * math.cos(n) + cx
y
rn math.sin(n) * math.sin(n) + cy
z
rn math.cos(n) + cz

if 150.0:
break

if
and <= 50:

ss 128 int128.0 * (i/50.0) )

pixels[kxky] = (ss00
if
50 and <= 100:

ss 128 int128.0 * ((i-100)/50.0) )

pixels[kxky] = (0ss0
if
100 and <= 150:

ss 128 int128.0 * ((i-100)/100.0) )

pixels[kxky] = (00ss
if
== 2:

pixels[kxky] = (255255255 )

image.save("Mandelbulb.png""PNG")

Output for the above Python program. Show the cross sectional view of a Mandelbulb.

The various depths are shown in different colours.

# MandelBulb Ray Tracer (Stripped)

A minimum working Mandelbulb ray tracing implementation.
All you need is a C++ compiler. Of course, you could port it to Python, as it's relatively straightforward, but it would be slow! It's slow in C++, it takes a few seconds to create the image in C++, so it might take a few minutes in Python.

The implementation should hopefully let you see how it all fits together. Also a fun demo for you to tinker with and experiment with as you learn about geometric fractals.

The following implementation creates a ppm image file. You should be able to open this image file in most image editors (e.g., XNView is a free image viewer/formatter if you don't have Photoshop).

/*
Minimal working (Mandelbulb xbdev.net)

PPM image format is a simple and uncomplicated way to generate an image without
requiring any external libraries.  Easy to open and convert to another format
(e.g., open and save as jpg using paint/xnview).
*/

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// constants to tweak and control the fractal output
#define BAILOUT        100
#define EPS            0.001
#define mmaxIterations 10

#define maxDetailIter  100
// e.g., try and change this value to 5 instead
// and see what the generated output looks like
#define myPower        12

#include <math.h>
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

#define M_PI 3.14159265358979323846264338327950288

inline double clamp(double x) { return x>x; }
inline double min(double xdouble y){ if (x<y) return x; return y; }
inline double max(double xdouble y){ if (x>y) return x; return y; }
inline int toInt(double x) { return int(pow(clamp(x), 2.2) * 255 .5); }
inline double clamp(const double ffdouble lodouble hi)
{
if (
ff hi) return hi;
if (
ff lo) return lo;
return
ff;
}

struct vec3 {

double xyz;                  // position, also color (r,g,b)

vec3(double x_ 0double y_ 0double z_ 0) { x_y_z_; }

vec3 operator+(const vec3 &b) const { return vec3(b.xb.yb.z); }

vec3 operator-(const vec3 &b) const { return vec3(b.xb.yb.z); }

vec3 operator*(double b) const { return vec3(x*by*bz*b); }

vec3 mult(const vec3 &b) const { return vec3(x*b.xy*b.yz*b.z); }

vec3norm() { return *this = *this * (sqrt(x*y*z*z)); }

double dot( const vec3 &b) const { return x*b.y*b.z*b.z; }

vec3 cross (vec3&b) { return vec3(y*b.z*b.yz*b.x*b.zx*b.y*b.x); }
};

struct vec4 {

double xyzw;

vec4(const vec3vdouble _w){ x=v.xy=v.yz=v.zw=_w; }

vec4(double x_ 0double y_ 0double z_ 0double w_ 0) { x_y_z_w_; }

vec4 operator+(const vec4 &b) const { return vec4(b.xb.yb.zb.w); }

vec4 operator-(const vec4 &b) const { return vec4(b.xb.yb.zb.w); }

vec4 operator*(double b) const { return vec4(x*by*bz*bw*b); }

vec4 mult(const vec4 &b) const { return vec4(x*b.xy*b.yz*b.zw*b.w); }

vec4norm() { return *this = *this * (sqrt(x*y*z*w*w)); }

double dot(const vec4 &b) const { return x*b.y*b.z*b.zw*b.w; }

};

double dot(const vec3&a, const vec3 &b) { return a.dot(b); }
double length(const vec3v) { return sqrt(v.dot(v)); }
double length(const vec4v) { return sqrt(v.dot(v)); }
vec3 normalize(const vec3v) {

double len length(v);
return
vec3v.x/lenv.y/lenv.z/len );
}

/*
These two functions, MainBulb(..) and IntersectMBulb(..)
do all of the work.  Responsible for the fractal shape/details
*/

vec4 MainBulb(vec4 v)
{

double r lengthvec3(v.xv.yv.z) );
if (
r>BAILOUT) return v;

double theta acos(clamp(v.r, -1.01.0))*myPower;

double phi atan2(v.yv.x)*myPower;

v.pow(rmyPower 1.0)*myPower*v.1.0;

double zr pow(rmyPower);

vec3 vv vec3(sin(theta)*cos(phi), sin(phi)*sin(theta), cos(theta))*zr;
return
vec4(vv.xvv.yvv.zv.w);
}

double IntersectMBulb(vec3rOvec3rDvec4trap)
{

double dist;
for (
int i 0i<maxDetailIteri++) {

double r 0.0;

vec4 v vec4(rO.xrO.yrO.z1.0);

vec3 va (v.xv.yv.z);

trap vec4(abs(v.x), abs(v.y), abs(v.z), dot(vava));

for (
int n 0n<mmaxIterations; ++n)
{

va vec3(v.xv.yv.z);

length(va);
if (
r>BAILOUT) break;

MainBulb(v) + vec4(rO.xrO.yrO.z0.0);

va vec3(v.xv.yv.z);

vec4 v4 (abs(va.x), abs(va.y), abs(va.z), dot(vava));

trap.min(trap.xv4.x);

trap.min(trap.yv4.y);

trap.min(trap.zv4.z);

trap.min(trap.wv4.w);
}

dist 0.5*log(r)*v.w;

rO rO rD dist;
if (
dist EPS) break;
}
return
dist;
}

/*
Hacky code to work out an approximate normal for our
geometry (without lighting it looks horrible)
*/
vec3 NormEstimateMB(vec3 p) {

double ddd 0.000001;

vec4 g0 vec4(p.0);

vec4 gx vec4(vec3(ddd00), .0);

vec4 gy vec4(vec3(0ddd0), .0);

vec4 gz vec4(vec3(00ddd), .0);

vec4 v0 g0;

vec4 vx gx;

vec4 vy gy;

vec4 vz gz;

double ln;
for (
int i 0100i++) {

g0 MainBulb(g0) + v0;

gx MainBulb(gx) + vx;

gy MainBulb(gy) + vy;

gz MainBulb(gz) + vz;

ln lengthvec3(g0.xg0.yg0.z) );
if (
ln>BAILOUT) break;
}

//float ln    = length( vec3(g0.x, g0.y, g0.z) );

double gradX lengthvec3(gx.xgx.ygx.z) ) - ln;

double gradY lengthvec3(gy.xgy.ygy.z) ) - ln;

double gradZ lengthvec3(gz.xgz.ygz.z) ) - ln;

//N = normalize(vec3(length(gx-g0), length(gy-g0), length(gz-g0)));

}

/*
Good old Phong lighting function
*/
vec3 Phong(vec3 lightvec3 eyevec3 ptvec3 N)
{

vec3 diffuse vec3(0.400.950.25); // base color of shading

const int specularExponent 10;       // shininess of shading

const double specularity 0.45;       // amplitude of specular highlight

vec3 L normalize(light pt);        // find the vector to the light

vec3 E normalize(eye pt);          // find the vector to the eye

double  NdotL dot(NL);             // find the cosine of the angle between light and normal

vec3 R NdotL;            // find the reflected vector

diffuse diffuse N*0.1;             // add some of the normal for 'effect'

return diffuse max(NdotL0.0) + specularity*pow(max(dot(ER), 0), specularExponent);
}

/*
Program entry point - loop over all the image pixels
and work out the color (i.e., based on a ray we shoot
at the Mandelbulb fractal/intersection).
*/
int main(int argcchar *argv[]) {

int w 10241014// # default resolution

if ( argc == atoi(argv[1]); // # resolution

vec3 *= new vec3[w*h]; // output colors

#pragma omp parallel for schedule(dynamic, 1) private(r)       // OpenMP

for (int y=0hy++ ) {       // Loop over image rows

fprintf(stderr"\rRendering (%dx%d res) %5.2f%%"wh100.*/ (1));
for (
unsigned short x=0wx++ )   // Loop cols

{

// index for this pixel into color array c

const int i = (1)*x;

// we 'orientate' the ray so it's not just facing
// down the z-axis. Instead of implementing all the rotation
// code, we use some simple vector trigonometry to work out
// the look at point, direction and origin of the ray

vec3 off(0,-2,-2);

vec3 dir vec3(0,0,0) - off;

dir normalize(dir);

off dir*-2.5;

vec3 left vec3(0,1,0).crossdir );

left normalize(left);

vec3 up left.crossdir );

up normalize(up);

// pixels for the screen -0.5 to 0.5

double dx = -0.5 + ((double(1)) * 1.0);

double dy = -0.5 + ((double(1)) * 1.0);

vec3 rO off;

vec3 rD dir left*dx up*dy;

rD rD.norm();

#if 0 // debug - if we want the camera to look down the z axis

dx = -0.5 + ((double(1) ) * 1.0 );

dy = -0.5 + ((double(1)) * 1.0 );

rD vec3(dxdy0.9).norm();

rO vec3(0,0,-2.3);

#endif

vec4 cols(0,0,0,0);

// distance from the ray to the geometry

double dist IntersectMBulb(rOrDcols);

c[i] = vec3(); // default black

if ( dist 0.001 )
{

// if we get here, then we have 'hit' the geometry, so we can work
// out some lighting information.
// If we just set the color to some 'constant' we won't see any of
// that sexy detail/geometry that is fractals possess

vec3 light (2,2,-5); // light position

vec3 N NormEstimateMB(rO);

// Compute the Phong illumination at the point of intersection.

vec3 color Phong(lightrDrON);

c[i] = color;
}
}
}

// details on the ppm image format
// ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Netpbm#PPM_example

FILE *fopen("image.ppm""w");         // Write image to PPM file.

fprintf(f"P3\n%d %d\n%d\n"wh255);
for (
int i 0w*hi++)

fprintf(f"%d %d %d "toInt(c[i].x), toInt(c[i].y), toInt(c[i].z));
}

# References and Resources

[1] Fractals - Popular fractals, details and implementation examples

[2] Wikipedia Mandelbulb

[3] WebGL MandelBulb Ray Marching 3D rendering [Nice web-based demo on GitHub]

[4] Dual-Quaternion Julia Fractals (Kenwright)

[5] Python Mandelbulb Slice Receipe Sweet little python program to show a minimal working example of a mandelbulb 'slice'

[6] Daniel White's site Mandelbulb and its history, very well documented details, and continue to discuss various distance estimators for the concept

[7] WebGPU WGSL Demo - Ray Tracing